哪个是更好的方法来计算nCr的(Which is better way to calculate n

方法1：
C（N，R）= N！/（NR）！ - [R！

方法2：
在这本书中组合算法通过维尔夫 ，我发现这一点：
在C（n，R）可被写为C(n-1,r) + C(n-1,r-1) 。

如

C(7,4) = C(6,4) + C(6,3) 
       = C(5,4) + C(5,3) + C(5,3) + C(5,2)
       .   .
       .   .
       .   .
       .   .
       After solving
       = C(4,4) + C(4,1) + 3*C(3,3) + 3*C(3,1) + 6*C(2,1) + 6*C(2,2)

正如你所看到的，最终的解决方案不需要任何乘法。 在每一个形式C（N，R），是n == R或R == 1。

下面是示例代码，我已经实现了：

int foo(int n,int r)
{
     if(n==r) return 1;
     if(r==1) return n;
     return foo(n-1,r) + foo(n-1,r-1);
}

见输出这里。

在方法2，有我们呼吁递归再次解决相同的子问题重叠的子问题。 我们可以通过避免动态规划 。

我想知道这是更好的方式来计算C（N，R）？

Answer 1:

这两种方法都可以节省时间，但第一个是很容易出现整数溢出 。

方法1：

这种方法将产生导致最短时间（至多n/2次迭代），并可以通过仔细做乘法可以减少溢出的可能性：

long long C(int n, int r) {
    if(r > n - r) r = n - r; // because C(n, r) == C(n, n - r)
    long long ans = 1;
    int i;

    for(i = 1; i <= r; i++) {
        ans *= n - r + i;
        ans /= i;
    }

    return ans;
}

此代码将开始从较小的一端分子的乘法，并作为任何产品k连续整数整除由k! ，就不会有整除问题。 但溢出的可能性仍然存在，另一个有用的技巧也可以分割n - r + i和i通过GCD执行乘法和除法（并且仍然可能会发生溢出）前。

方法2：

在这种方法中，你会真正建立了杨辉三角 。 动态方法是比递归一个快得多（第一个是O(n^2)而另一个是指数的）。 但是，你需要使用O(n^2)内存了。

# define MAX 100 // assuming we need first 100 rows
long long triangle[MAX + 1][MAX + 1];

void makeTriangle() {
    int i, j;

    // initialize the first row
    triangle[0][0] = 1; // C(0, 0) = 1

    for(i = 1; i < MAX; i++) {
        triangle[i][0] = 1; // C(i, 0) = 1
        for(j = 1; j <= i; j++) {
            triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];
        }
    }
}

long long C(int n, int r) {
    return triangle[n][r];
}

然后，你可以查找任何C(n, r)在O(1)时间。

如果需要一个特定的C(n, r)即，不需要完整的三角形），则存储器消耗可以由O(n)由相同的行所述三角形的，顶部覆盖至底部。

# define MAX 100
long long row[MAX + 1]; // initialized with 0's by default if declared globally

int C(int n, int r) {
    int i, j;

    // initialize by the first row
    row[0] = 1; // this is the value of C(0, 0)

    for(i = 1; i <= n; i++) {
        for(j = i; j > 0; j--) {
             // from the recurrence C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)
             row[j] += row[j - 1];
        }
    }

    return row[r];
}

内环从年底开始，以简化计算。 如果从指数0开始吧，你需要另一个变量来存储被覆盖的值。

Answer 2:

我觉得你的递归方法应与有效的工作DP 。 但是，这将开始给问题一旦约束加大。 见http://www.spoj.pl/problems/MARBLES/

下面是我在网上法官和编码竞赛使用的功能。 所以，它的工作原理相当快。

long combi(int n,int k)
{
    long ans=1;
    k=k>n-k?n-k:k;
    int j=1;
    for(;j<=k;j++,n--)
    {
        if(n%j==0)
        {
            ans*=n/j;
        }else
        if(ans%j==0)
        {
            ans=ans/j*n;
        }else
        {
            ans=(ans*n)/j;
        }
    }
    return ans;
}

这是你的方法＃1的有效实施

Answer 3:

你递推是好的，但使用DP与你的做法会降低again.Now解决子问题的开销，因为我们已经有两个条件 -

nCr(n,r) = nCr(n-1,r-1) + nCr(n-1,r);

nCr(n,0)=nCr(n,n)=1;

现在，我们可以很容易地通过存储在2 d我们的子结果建立一个DP的解决方案阵列 -

int dp[max][max];
//Initialise array elements with zero
int nCr(int n, int r)
{
       if(n==r) return dp[n][r] = 1; //Base Case
       if(r==0) return dp[n][r] = 1; //Base Case
       if(r==1) return dp[n][r] = n;
       if(dp[n][r]) return dp[n][r]; // Using Subproblem Result
       return dp[n][r] = nCr(n-1,r) + nCr(n-1,r-1);
}

现在，如果你想进一步otimise，获取二项式系数的因式分解是可能来计算的话，特别是如果乘法是昂贵的最有效的方式。

我知道的最快方法是弗拉基米尔的方法 。 一个通过分解nCr的为素数因子避免师一起。 正如普京说，你可以使用埃拉托色尼sieve.Also，使用费马小定理计算nCr的MOD MOD（其中MOD是一个素数）很有效地做到这一点。

Answer 4:

使用动态编程，你可以很容易地在这里找到，NCR是解决方案

package com.practice.competitive.maths;

import java.util.Scanner;

public class NCR1 {

    public static void main(String[] args) {
        try (Scanner scanner = new Scanner(System.in)) {
            int testCase = scanner.nextInt();
            while (testCase-- > 0) {
                int n = scanner.nextInt();
                int r = scanner.nextInt();
                int[][] combination = combination();
                System.out.println(combination[n][r]%1000000007);
            }
        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }

    public static int[][] combination() {
        int combination[][] = new int[1001][1001];
        for (int i = 0; i < 1001; i++)
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || j == i)
                    combination[i][j] = 1;
                else
                    combination[i][j] = combination[i - 1][j - 1] % 1000000007 + combination[i - 1][j] % 1000000007;
            }
        return combination;
    }
}

Answer 5:

unsigned long long ans = 1,a=1,b=1;
        int k = r,i=0;
        if (r > (n-r))
            k = n-r;
        for (i = n ; k >=1 ; k--,i--)
        {
            a *= i;
            b *= k;
            if (a%b == 0)
            {
                a = (a/b);
                b=1;
            }
        }
        ans = a/b;

文章来源: Which is better way to calculate nCr