我想用NTT快速平方(见快速BIGNUM平方米计算 ),但结果是即使是非常大的数字.. 12000位更慢。
所以我的问题是:
- 有没有办法来优化我的NTT变换? 我不是故意的并行性(线程)来加速它; 这仅仅是低级别的层。
- 有没有一种方法,以加快我的模块化的算术?
这是我的(已优化)来源下NTT ++编写代码(这是完整的,100%的C ++工作whitout需要任何第三方库,也应该是线程安全的。当心源阵列被用作临时!!! ,此外,它可以不是该数组变换本身)。
//---------------------------------------------------------------------------
class fourier_NTT // Number theoretic transform
{
public:
DWORD r,L,p,N;
DWORD W,iW,rN;
fourier_NTT(){ r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; }
// main interface
void NTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n=0); // DWORD dst[n] = fast NTT(DWORD src[n])
void INTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n=0); // DWORD dst[n] = fast INTT(DWORD src[n])
// Helper functions
bool init(DWORD n); // init r,L,p,W,iW,rN
void NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w); // DWORD dst[n] = fast NTT(DWORD src[n])
// Only for testing
void NTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w); // DWORD dst[n] = slow NTT(DWORD src[n])
void INTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w); // DWORD dst[n] = slow INTT(DWORD src[n])
// DWORD arithmetics
DWORD shl(DWORD a);
DWORD shr(DWORD a);
// Modular arithmetics
DWORD mod(DWORD a);
DWORD modadd(DWORD a,DWORD b);
DWORD modsub(DWORD a,DWORD b);
DWORD modmul(DWORD a,DWORD b);
DWORD modpow(DWORD a,DWORD b);
};
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n)
{
if (n>0) init(n);
NTT_fast(dst,src,N,W);
// NTT_slow(dst,src,N,W);
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::INTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n)
{
if (n>0) init(n);
NTT_fast(dst,src,N,iW);
for (DWORD i=0;i<N;i++) dst[i]=modmul(dst[i],rN);
// INTT_slow(dst,src,N,W);
}
//---------------------------------------------------------------------------
bool fourier_NTT::init(DWORD n)
{
// (max(src[])^2)*n < p else NTT overflow can ocur !!!
r=2; p=0xC0000001; if ((n<2)||(n>0x10000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x30000000/n; // 32:30 bit best for unsigned 32 bit
// r=2; p=0x78000001; if ((n<2)||(n>0x04000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x3c000000/n; // 31:27 bit best for signed 32 bit
// r=2; p=0x00010001; if ((n<2)||(n>0x00000020)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x00000020/n; // 17:16 bit best for 16 bit
// r=2; p=0x0a000001; if ((n<2)||(n>0x01000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x01000000/n; // 28:25 bit
N=n; // size of vectors [DWORDs]
W=modpow(r, L); // Wn for NTT
iW=modpow(r,p-1-L); // Wn for INTT
rN=modpow(n,p-2 ); // scale for INTT
return true;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
{
if (n<=1) { if (n==1) dst[0]=src[0]; return; }
DWORD i,j,a0,a1,n2=n>>1,w2=modmul(w,w);
// reorder even,odd
for (i=0,j=0;i<n2;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
for ( j=1;i<n ;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
// recursion
NTT_fast(src ,dst ,n2,w2); // even
NTT_fast(src+n2,dst+n2,n2,w2); // odd
// restore results
for (w2=1,i=0,j=n2;i<n2;i++,j++,w2=modmul(w2,w))
{
a0=src[i];
a1=modmul(src[j],w2);
dst[i]=modadd(a0,a1);
dst[j]=modsub(a0,a1);
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
{
DWORD i,j,wj,wi,a,n2=n>>1;
for (wj=1,j=0;j<n;j++)
{
a=0;
for (wi=1,i=0;i<n;i++)
{
a=modadd(a,modmul(wi,src[i]));
wi=modmul(wi,wj);
}
dst[j]=a;
wj=modmul(wj,w);
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::INTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
{
DWORD i,j,wi=1,wj=1,a,n2=n>>1;
for (wj=1,j=0;j<n;j++)
{
a=0;
for (wi=1,i=0;i<n;i++)
{
a=modadd(a,modmul(wi,src[i]));
wi=modmul(wi,wj);
}
dst[j]=modmul(a,rN);
wj=modmul(wj,iW);
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::shl(DWORD a) { return (a<<1)&0xFFFFFFFE; }
DWORD fourier_NTT::shr(DWORD a) { return (a>>1)&0x7FFFFFFF; }
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::mod(DWORD a)
{
DWORD bb;
for (bb=p;(DWORD(a)>DWORD(bb))&&(!DWORD(bb&0x80000000));bb=shl(bb));
for (;;)
{
if (DWORD(a)>=DWORD(bb)) a-=bb;
if (bb==p) break;
bb =shr(bb);
}
return a;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modadd(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD d,cy;
a=mod(a);
b=mod(b);
d=a+b;
cy=(shr(a)+shr(b)+shr((a&1)+(b&1)))&0x80000000;
if (cy) d-=p;
if (DWORD(d)>=DWORD(p)) d-=p;
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modsub(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD d;
a=mod(a);
b=mod(b);
d=a-b; if (DWORD(a)<DWORD(b)) d+=p;
if (DWORD(d)>=DWORD(p)) d-=p;
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modmul(DWORD a,DWORD b)
{ // b bez orezania !
int i;
DWORD d;
a=mod(a);
for (d=0,i=0;i<32;i++)
{
if (DWORD(a&1)) d=modadd(d,b);
a=shr(a);
b=modadd(b,b);
}
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modpow(DWORD a,DWORD b)
{ // a,b bez orezania !
int i;
DWORD d=1;
for (i=0;i<32;i++)
{
d=modmul(d,d);
if (DWORD(b&0x80000000)) d=modmul(d,a);
b=shl(b);
}
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
我NTT类的使用示例:
fourier_NTT ntt;
const DWORD n=32
DWORD x[N]={0,1,2,3,....31},y[N]={32,33,34,35,...63},z[N];
ntt.NTT(z,x,N); // z[N]=NTT(x[N]), also init constants for N
ntt.NTT(x,y); // x[N]=NTT(y[N]), no recompute of constants, use last N
// modular convolution y[]=z[].x[]
for (i=0;i<n;i++) y[i]=ntt.modmul(z[i],x[i]);
ntt.INTT(x,y); // x[N]=INTT(y[N]), no recompute of constants, use last N
// x[]=convolution of original x[].y[]
优化之前有些测量(NTT非类):
a = 0.98765588997654321000 | 389*32 bits
looped 1x times
sqr1[ 3.177 ms ] fast sqr
sqr2[ 720.419 ms ] NTT sqr
mul1[ 5.588 ms ] simpe mul
mul2[ 3.172 ms ] karatsuba mul
mul3[ 1053.382 ms ] NTT mul
我的优化后,有些测量(当前的代码,更低的递归参数大小/计数,以及更好的模块化算术):
a = 0.98765588997654321000 | 389*32 bits
looped 1x times
sqr1[ 3.214 ms ] fast sqr
sqr2[ 208.298 ms ] NTT sqr
mul1[ 5.564 ms ] simpe mul
mul2[ 3.113 ms ] karatsuba mul
mul3[ 302.740 ms ] NTT mul
检查NTT MUL和NTT SQR倍(我的优化,加快速度略超过3倍倍)。 这只是1X次循环,所以它不是很准确(误差〜10%),但增速尤为引人注目即使是现在(通常我环路它1000倍多,但我的NTT是太缓慢)。
你可以使用我的代码自由......继续我的昵称和/或链接到这个网页的某个地方(REM代码,readme.txt文件,约或其他)。 我希望它可以帮助...(我没看到C ++源快速NTTS任何地方,所以我不得不自己写)。 单位根为大家所接受Ñ进行了测试,看fourier_NTT::init(DWORD n)
函数。
PS:关于NTT的更多信息,请参阅https://stackoverflow.com/a/18547575/2521214 。 这个代码是基于内部链接我的职位。
[EDIT1:]在代码进一步变化
我设法进一步优化我的模块化的算术,通过利用该模主要是百达0xC0000001和消除不必要的调用。 将得到的加速比是惊人的(超过40个倍)现在和NTT乘法后关于1500 * 32比特的阈值比karatsuba更快。 顺便说一句,我的NTT的速度是现在的64位双打一样我的优化DFFT。
一些测量:
a = 0.98765588997654321000 | 1553*32bits
looped 10x times
mul2[ 28.585 ms ] karatsuba mul
mul3[ 26.311 ms ] NTT mul
模块化算术新的源代码:
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::mod(DWORD a)
{
if (a>p) a-=p;
return a;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modadd(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD d,cy;
if (a>p) a-=p;
if (b>p) b-=p;
d=a+b;
cy=((a>>1)+(b>>1)+(((a&1)+(b&1))>>1))&0x80000000;
if (cy ) d-=p;
if (d>p) d-=p;
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modsub(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD d;
if (a>p) a-=p;
if (b>p) b-=p;
d=a-b;
if (a<b) d+=p;
if (d>p) d-=p;
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modmul(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD _a,_b,_p;
_a=a;
_b=b;
_p=p;
asm {
mov eax,_a
mov ebx,_b
mul ebx // H(edx),L(eax) = eax * ebx
mov ebx,_p
div ebx // eax = H(edx),L(eax) / ebx
mov _a,edx // edx = H(edx),L(eax) % ebx
}
return _a;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modpow(DWORD a,DWORD b)
{ // b bez orezania!
int i;
DWORD d=1;
if (a>p) a-=p;
for (i=0;i<32;i++)
{
d=modmul(d,d);
if (DWORD(b&0x80000000)) d=modmul(d,a);
b<<=1;
}
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
正如你所看到的,功能shl
和shr
是不再被使用。 我认为modpow可以进一步优化,但它不是一个重要的功能,因为它只是叫很少的时间。 最关键的功能是modmul,这似乎是在可能的最佳状态。
进一步的问题:
- 是否有任何其他选项,以加速比NTT?
- 是我的模块化算术的优化更安全? (结果似乎是相同的,但我可能会错过一些东西。)
[EDIT2]新的优化
a = 0.99991970486 | 2000*32 bits
looped 10x
sqr1[ 13.908 ms ] fast sqr
sqr2[ 13.649 ms ] NTT sqr
mul1[ 19.726 ms ] simpe mul
mul2[ 31.808 ms ] karatsuba mul
mul3[ 19.373 ms ] NTT mul
我实现了所有可用的东西,一切从您的意见(感谢您的洞察力)。
速度提升:
- 通过去除不必要的安全MODS的+ 2.5%(Mandalf的米色)
- 通过使用预先计算W的+ 34.9%,信息战功率(Mysticial)
- + 35%总
实际的完整的源代码:
//---------------------------------------------------------------------------
//--- Number theoretic transforms: 2.03 -------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
#ifndef _fourier_NTT_h
#define _fourier_NTT_h
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
class fourier_NTT // Number theoretic transform
{
public:
DWORD r,L,p,N;
DWORD W,iW,rN; // W=(r^L) mod p, iW=inverse W, rN = inverse N
DWORD *WW,*iWW,NN; // Precomputed (W,iW)^(0,..,NN-1) powers
// Internals
fourier_NTT(){ r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; WW=NULL; iWW=NULL; NN=0; }
~fourier_NTT(){ _free(); }
void _free(); // Free precomputed W,iW powers tables
void _alloc(DWORD n); // Allocate and precompute W,iW powers tables
// Main interface
void NTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n=0); // DWORD dst[n] = fast NTT(DWORD src[n])
void iNTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n=0); // DWORD dst[n] = fast INTT(DWORD src[n])
// Helper functions
bool init(DWORD n); // init r,L,p,W,iW,rN
void NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w); // DWORD dst[n] = fast NTT(DWORD src[n])
void NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD *w2,DWORD i2);
// Only for testing
void NTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w); // DWORD dst[n] = slow NTT(DWORD src[n])
void iNTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w); // DWORD dst[n] = slow INTT(DWORD src[n])
// Modular arithmetics (optimized, but it works only for p >= 0x80000000!!!)
DWORD mod(DWORD a);
DWORD modadd(DWORD a,DWORD b);
DWORD modsub(DWORD a,DWORD b);
DWORD modmul(DWORD a,DWORD b);
DWORD modpow(DWORD a,DWORD b);
};
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::_free()
{
NN=0;
if ( WW) delete[] WW; WW=NULL;
if (iWW) delete[] iWW; iWW=NULL;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::_alloc(DWORD n)
{
if (n<=NN) return;
DWORD *tmp,i,w;
tmp=new DWORD[n]; if ((NN)&&( WW)) for (i=0;i<NN;i++) tmp[i]= WW[i]; if ( WW) delete[] WW; WW=tmp; WW[0]=1; for (i=NN?NN:1,w= WW[i-1];i<n;i++){ w=modmul(w, W); WW[i]=w; }
tmp=new DWORD[n]; if ((NN)&&(iWW)) for (i=0;i<NN;i++) tmp[i]=iWW[i]; if (iWW) delete[] iWW; iWW=tmp; iWW[0]=1; for (i=NN?NN:1,w=iWW[i-1];i<n;i++){ w=modmul(w,iW); iWW[i]=w; }
NN=n;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n)
{
if (n>0) init(n);
NTT_fast(dst,src,N,WW,1);
// NTT_fast(dst,src,N,W);
// NTT_slow(dst,src,N,W);
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::iNTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n)
{
if (n>0) init(n);
NTT_fast(dst,src,N,iWW,1);
// NTT_fast(dst,src,N,iW);
for (DWORD i=0;i<N;i++) dst[i]=modmul(dst[i],rN);
// iNTT_slow(dst,src,N,W);
}
//---------------------------------------------------------------------------
bool fourier_NTT::init(DWORD n)
{
// (max(src[])^2)*n < p else NTT overflow can ocur!!!
r=2; p=0xC0000001; if ((n<2)||(n>0x10000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x30000000/n; // 32:30 bit best for unsigned 32 bit
// r=2; p=0x78000001; if ((n<2)||(n>0x04000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x3c000000/n; // 31:27 bit best for signed 32 bit
// r=2; p=0x00010001; if ((n<2)||(n>0x00000020)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x00000020/n; // 17:16 bit best for 16 bit
// r=2; p=0x0a000001; if ((n<2)||(n>0x01000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x01000000/n; // 28:25 bit
N=n; // Size of vectors [DWORDs]
W=modpow(r, L); // Wn for NTT
iW=modpow(r,p-1-L); // Wn for INTT
rN=modpow(n,p-2 ); // Scale for INTT
_alloc(n>>1); // Precompute W,iW powers
return true;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
{
if (n<=1) { if (n==1) dst[0]=src[0]; return; }
DWORD i,j,a0,a1,n2=n>>1,w2=modmul(w,w);
// Reorder even,odd
for (i=0,j=0;i<n2;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
for ( j=1;i<n ;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
// Recursion
NTT_fast(src ,dst ,n2,w2); // Even
NTT_fast(src+n2,dst+n2,n2,w2); // Odd
// Restore results
for (w2=1,i=0,j=n2;i<n2;i++,j++,w2=modmul(w2,w))
{
a0=src[i];
a1=modmul(src[j],w2);
dst[i]=modadd(a0,a1);
dst[j]=modsub(a0,a1);
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD *w2,DWORD i2)
{
if (n<=1) { if (n==1) dst[0]=src[0]; return; }
DWORD i,j,a0,a1,n2=n>>1;
// Reorder even,odd
for (i=0,j=0;i<n2;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
for ( j=1;i<n ;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
// Recursion
i=i2<<1;
NTT_fast(src ,dst ,n2,w2,i); // Even
NTT_fast(src+n2,dst+n2,n2,w2,i); // Odd
// Restore results
for (i=0,j=n2;i<n2;i++,j++,w2+=i2)
{
a0=src[i];
a1=modmul(src[j],*w2);
dst[i]=modadd(a0,a1);
dst[j]=modsub(a0,a1);
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
{
DWORD i,j,wj,wi,a;
for (wj=1,j=0;j<n;j++)
{
a=0;
for (wi=1,i=0;i<n;i++)
{
a=modadd(a,modmul(wi,src[i]));
wi=modmul(wi,wj);
}
dst[j]=a;
wj=modmul(wj,w);
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::iNTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
{
DWORD i,j,wi=1,wj=1,a;
for (wj=1,j=0;j<n;j++)
{
a=0;
for (wi=1,i=0;i<n;i++)
{
a=modadd(a,modmul(wi,src[i]));
wi=modmul(wi,wj);
}
dst[j]=modmul(a,rN);
wj=modmul(wj,iW);
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::mod(DWORD a)
{
if (a>p) a-=p;
return a;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modadd(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD d,cy;
//if (a>p) a-=p;
//if (b>p) b-=p;
d=a+b;
cy=((a>>1)+(b>>1)+(((a&1)+(b&1))>>1))&0x80000000;
if (cy ) d-=p;
if (d>p) d-=p;
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modsub(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD d;
//if (a>p) a-=p;
//if (b>p) b-=p;
d=a-b;
if (a<b) d+=p;
if (d>p) d-=p;
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modmul(DWORD a,DWORD b)
{
DWORD _a,_b,_p;
_a=a;
_b=b;
_p=p;
asm {
mov eax,_a
mov ebx,_b
mul ebx // H(edx),L(eax) = eax * ebx
mov ebx,_p
div ebx // eax = H(edx),L(eax) / ebx
mov _a,edx // edx = H(edx),L(eax) % ebx
}
return _a;
}
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD fourier_NTT::modpow(DWORD a,DWORD b)
{ // b is not mod(p)!
int i;
DWORD d=1;
//if (a>p) a-=p;
for (i=0;i<32;i++)
{
d=modmul(d,d);
if (DWORD(b&0x80000000)) d=modmul(d,a);
b<<=1;
}
return d;
}
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
#endif
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
还有通过分离使用较少的堆捣毁的可能性NTT_fast
到两个功能。 一个与WW[]
和其他与iWW[]
这将导致一个参数少递归调用。 但我不指望它多(32位指针只),并宁愿在未来更好的代码管理一个功能。 许多功能现在都处于休眠状态(用于测试)像慢变量, mod
和原来的快速函数( w
参数,而不是*w2,i2
)。
为了避免大数据集的溢出,限制输入号码p/4
位。 其中p
是每NTT元件的比特数,以便为这32位版本使用最大值(32 bit/4 -> 8 bit)
输入值。
[EDIT3]简单的字符串bigint
乘法测试
//---------------------------------------------------------------------------
char* mul_NTT(const char *sx,const char *sy)
{
char *s;
int i,j,k,n;
// n = min power of 2 <= 2 max length(x,y)
for (i=0;sx[i];i++); for (n=1;n<i;n<<=1); i--;
for (j=0;sx[j];j++); for (n=1;n<j;n<<=1); n<<=1; j--;
DWORD *x,*y,*xx,*yy,a;
x=new DWORD[n]; xx=new DWORD[n];
y=new DWORD[n]; yy=new DWORD[n];
// Zero padding
for (k=0;i>=0;i--,k++) x[k]=sx[i]-'0'; for (;k<n;k++) x[k]=0;
for (k=0;j>=0;j--,k++) y[k]=sy[j]-'0'; for (;k<n;k++) y[k]=0;
//NTT
fourier_NTT ntt;
ntt.NTT(xx,x,n);
ntt.NTT(yy,y);
// Convolution
for (i=0;i<n;i++) xx[i]=ntt.modmul(xx[i],yy[i]);
//INTT
ntt.iNTT(yy,xx);
//suma
a=0; s=new char[n+1]; for (i=0;i<n;i++) { a+=yy[i]; s[n-i-1]=(a%10)+'0'; a/=10; } s[n]=0;
delete[] x; delete[] xx;
delete[] y; delete[] yy;
return s;
}
//---------------------------------------------------------------------------
我使用AnsiString
的,所以我将它移植到char*
希望,我没有做一些错误。 它看起来像它工作正常(相较于AnsiString
的版本)。
-
sx,sy
是十进制整数 - 返回分配的字符串
(char*)=sx*sy
这是每32位数据字仅约4位,所以不存在溢出的风险,但它是当然的要慢。 在我的bignum
LIB我使用的二进制表示,并使用8 bit
每32位字组块用于NTT。 更重要的是是有风险的,如果N
大...
获得乐趣