【高等数学】函数与极限

本文为高等数学学习总结，讲解函数与极限。欢迎交流

映射与函数

函数的概念

函数通常简记为： y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),\quad x∈D y=f(x),x∈D，其中 D D D 称为定义域，记作 D f D_f Df​。值域记作 R f R_f Rf​ 或 f ( D ) f(D) f(D)

不超过 x x x 的最大整数称为 x x x 的整数部分，记作 [ x ] [x] [x]。注意： [ − 3.5 ] = − 4 [-3.5]=-4 [−3.5]=−4

函数的特性

1. 有界性

   • 若 f ( x ) ≤ K 1 f(x)\le K_1 f(x)≤K1​，则 f ( x ) f(x) f(x) 有上界；若 f ( x ) ≥ K 2 f(x)\ge K_2 f(x)≥K2​，则 f ( x ) f(x) f(x) 有下界。且上下界不唯一
   • 有界： ∃ M > 0 \exists M>0 ∃M>0，使得 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)|\le M ∣f(x)∣≤M。函数有界 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 函数有上界也有下界
   • 无界： ∀ M > 0 , ∃ x 1 ∈ X \forall M>0,\exists x_1∈X ∀M>0,∃x1​∈X，使得 ∣ f ( x 1 ) ∣ > M |f(x_1)|>M ∣f(x1​)∣>M

2. 奇偶性

   • 定义域关于原点对称。

3. 周期性

   • 周期函数： ∃ l > 0 \exists l>0 ∃l>0，使得 f ( x + l ) = f ( x ) f(x+l)=f(x) f(x+l)=f(x)

   • 通常说的周期就是最小周期，但并非每个函数都有最小周期：

反函数与复合函数

反函数

• 若 f f f 单调，则 f f f 单射，从而 f f f 必有反函数，且 f − 1 f^{-1} f−1 也单调
• 函数与反函数增减性相同
• 关于 y = x y=x y=x 对称

复合函数： t = f [ g ( x ) ] t=f[g(x)] t=f[g(x)]

• 要满足 R g ⊂ D f R_g⊂D_f Rg​⊂Df​

函数的运算

f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x) 满足 D = D f ∩ D g ≠ Φ D=D_f∩D_g≠Φ D=Df​∩Dg​​=Φ

例 11 任意的函数可以表示为偶函数与奇函数的和。

证：假设存在，做奇偶变换解出 g ( x ) , h ( x ) g(x),h(x) g(x),h(x)，再验证 g ( x ) , h ( x ) g(x),h(x) g(x),h(x) 的奇偶性

初等函数

基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

初等函数：基本初等函数做有限次四则运算或函数复合

三角函数

• 正割函数 sec ⁡ x = 1 sin ⁡ x \sec x=\frac{1}{\sin x} secx=sinx1​

• 余割函数 csc ⁡ x = 1 cos ⁡ x \csc x=\frac{1}{\cos x} cscx=cosx1​

二倍角公式

sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha sin2α=2sinαcosα

cos ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 = 1 − 2 sin ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α

tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} tan2α=1−tan2α2tanα​

半角公式

sin ⁡ α 2 = ± 1 − cos ⁡ α 2 \sin\frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} sin2α​=±21−cosα​ ​

cos ⁡ α 2 = ± 1 + cos ⁡ α 2 \cos\frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} cos2α​=±21+cosα​ ​

tan ⁡ α 2 = sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α = 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α = ± 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=±\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} tan2α​=1+cosαsinα​=sinα1−cosα​=±1+cosα1−cosα​ ​

三角函数值的正负由 α 2 \frac{\alpha}{2} 2α​ 所在象限决定。

和差化积（记忆口诀）

正和正在先： sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} sinα+sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​

正差正后迁： sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} sinα−sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​

余和一色余： cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} cosα+cosβ=2cos2α+β​cos2α−β​

余差翻了天： cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} cosα−cosβ=−2sin2α+β​sin2α−β​

反三角函数

数列的极限

数列

序列 x 1 , x 2 , … , x n , … x_1,x_2,…,x_n,… x1​,x2​,…,xn​,… 叫做数列，简记为数列 { x n } \{x_n\} {xn​}， x n x_n xn​ 为数列的一般项（或通项）

数列极限的定义

对于任意小的距离，总存在某项，其后面的所有项都落在小区域 ∣ x n − a ∣ < ϵ |x_n-a|<\epsilon ∣xn​−a∣<ϵ 内。 a a a 为数列的极限或数列收敛于 a a a（做题几乎不用这个定义）

函数极限

无穷大与无穷小

无穷小

如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 当 x → x 0 x\to x_0 x→x0​（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）时的极限为 0，则称函数 f ( x ) f(x) f(x) 为 x → x 0 x\to x_0 x→x0​（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）时的无穷小。

自变量统一变化过程 x → x 0 x\to x_0 x→x0​（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）中，函数 f ( x ) f(x) f(x) 具有极限 A A A 的充要条件是 f ( x ) = A + α f(x)=A+\alpha f(x)=A+α，其中 α \alpha α 为无穷小。

无穷大

设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0​ 的某一去心邻域内有定义（或 ∣ x ∣ |x| ∣x∣ 大于某一正数时有定义）。如果 ∀ M > 0 \forall M>0 ∀M>0（无论多么大）， ∃ δ > 0 \exist\delta>0 ∃δ>0（或 X > 0 X>0 X>0），适合不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0​∣<δ（或 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X），对应函数值满足： ∣ f ( x ) ∣ > M |f(x)|>M ∣f(x)∣>M，则称其是 x → x 0 x\to x_0 x→x0​（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）时的无穷大。极限不存在。

自变量同一变化过程中，如果 f ( x ) f(x) f(x) 为无穷大，则 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1​ 为无穷小，反之同理。

极限运算法则

定理

• 有限个无穷小的和是无穷小

• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

  • 常数与无穷小的乘积是无穷小
  • 有限个无穷小的乘积是无穷小

• 两函数加减乘除的极限=两极限的加减乘除

• 如果 f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\ge g(x) f(x)≥g(x)，则 lim ⁡ f ( x ) ≥ lim ⁡ g ( x ) \lim f(x)\ge \lim g(x) limf(x)≥limg(x)

极限存在准则

夹逼准则

• 对于数列 { x n } , { y n } , { z n } \{x_n\},\{y_n\},\{z_n\} {xn​},{yn​},{zn​}，若从某项起 y n ≤ x n ≤ z n y_n\le x_n\le z_n yn​≤xn​≤