一个单子可以是一个comonad？(Can a monad be a comonad?)

2019-09-03 05:31发布

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仙女界的扛把子

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我知道一个单子是什么。我想我已经正确地包裹着我的脑海围绕comonad是什么。（或者说，什么是一个似乎很简单;棘手的部分是理解什么是关于这个有用的 ...）

我的问题是：什么能成为一个单子和 comonad？

我预见到两个可能的答案：

是的，这是常见的和广泛有用的。
不，他们这样做不同的工作会有任何理由想要的东西既。

所以，这是什么呢？

Answer 1:

是。至于一些评论到一个答案：

newtype Identity a = Identity {runIdenity :: a} deriving Functor
instance Monad Identity where
  return = Identity
  join = runIdentity
instance CoMonad Identity where
  coreturn = runIdentity
  cojoin = Identity

Reader和Writer是精确的对偶，如图

class CoMonoid m where
  comempty :: (m,a) -> a
  comappend :: m -> (m,m)
--every haskell type is a CoMonoid
--that is because CCCs are boring!

instance Monoid a => Monad ((,) a) where
  return x = (mempty,x)
  join (a,(b,x)) = (a <> b, x)
instance CoMonoid a => CoMonad ((,) a) where
  coreturn = comempty
  cojoin = associate . first comappend

instance CoMonoid a => Monad ((->) a) where
  return = flip (curry comempty)
  join f = uncurry f . comappend
instance Monoid a => CoMonad ((->) a)  where
  coreturn f = f mempty
  cojoin f a b = f (a <> b)

Answer 2:

所述Cofree Comonad产生了用作单子和Comonads都是有用的一些数据结构：

data Cofree f a = a :< f (Cofree f a)

每Cofree Comonad通过备用仿函数产生一个单子 - 看到这里的实例：

http://hackage.haskell.org/packages/archive/free/3.4.1/doc/html/Control-Comonad-Cofree.html

instance Alternative f => Monad (Cofree f) where
  return x = x :< empty
  (a :< m) >>= k = case k a of
                     b :< n -> b :< (n <|> fmap (>>= k) m)

这给了我们，如非空列为单子和Comonads兼而有之（非空的F-分支树一起，等等）。

Identity不是一种选择，而是Cofree Identity产生无穷流，我们其实可以给不同的单子实例是流：

http://hackage.haskell.org/packages/archive/streams/3.1/doc/html/Data-Stream-Infinite.html

data Stream a = a :> Stream a
instance Comonad Stream where
  duplicate = tails
  extend f w = f w :> extend f (tail w)
  extract = head

instance Monad Stream where
  return = repeat
  m >>= f = unfold (\(bs :> bss) -> (head bs, tail <$> bss)) (fmap f m)

（注意上述功能不在列表，但在代替定义streams封装）。

类似地，读取器箭头不在替代，但Cofree ((->) r)产生一个摩尔机，和Moore机器也是单子和comonads两者：

http://hackage.haskell.org/packages/archive/machines/0.2.3.1/doc/html/Data-Machine-Moore.html

data Moore a b = Moore b (a -> Moore a b)
instance Monad (Moore a) where
  return a = r where r = Moore a (const r)
  Moore a k >>= f = case f a of
    Moore b _ -> Moore b (k >=> f)
  _ >> m = m
instance Comonad (Moore a) where
  extract (Moore b _) = b
  extend f w@(Moore _ g) = Moore (f w) (extend f . g)

那么，什么是所有这些例子背后的直觉？那么我们得到的comonadic操作是免费的。我们拿到的单子操作一切形式的对角化。随着替代，我们可以<|>的东西放在一起，以“斯马什”的结构，而魔术了“空”当我们用完结构的东西，斯马什。这让我们在有限的情况下工作。由于缺乏替代，我们需要有结构的无限量，所以不管有多少“连接”的操作（这是我们能想到的作为剪接或替代），我们做，总是有更多的空间来放置拼接元素（如在希尔伯特酒店： http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_infinite_hotel ）。

与此相关，每 Comonad产生了相关的单子（虽然我认为这更多的是好奇）：

http://hackage.haskell.org/packages/archive/kan-extensions/3.1.1/doc/html/Control-Monad-Co.html

http://comonad.com/reader/2011/monads-from-comonads/

Answer 3:

有许多都是一个有趣的结构Monad和Comonad 。

该Identity函子已在此间指出，通过其他几人，但也有不平凡的例子。

该Writer Monad扮演一个Reader般的作用Comonad 。

instance Monoid e => Monad ((,) e)
instance Comonad ((,) e)

该Reader Monad扮演一个Writer作为一个样的角色Comonad 。

instance Monad ((->) e)
instance Monoid e => Comonad ((->)e)

非空列表还形成两个单子和comonad和实际上涉及cofree comonads较大的建设的一个特例。该Identity的情况下也可以被看作是这种特殊情况。

也有各种各样的Yoneda和Codensity基于侃扩展式的结构，这项工作转变单子和comonads，虽然他们青睐的一个或另一个在操作效率方面。

我也有一个任意comonad转换成一个单子转换的适配器。不幸的是相反的转换是不可能的在Haskell。

线性代数存在的概念双代数。理想的情况下，如果我们有形成既有一些Monad和Comonad ，我们要使用这些操作起来没有对案件逐案基础上的推理，一个想有return ，并join被Comonad余代数和扩展， extract和duplicate是Monad代数。如果这些条件成立，那么你就可以真正的原因大约有两码Monad f和Comonad f约束和混合从每个组合子，而不逐案的推理。

Answer 4:

这取决于你认为什么是“单子”是。如果你问“有可能是一种既实例Monad和Comonad一次？” 好的。这里有一个简单的例子。

newtype Id a = Id a

instance Monad Identity where
  return       = Id
  (Id a) >>= f = f a

instance Comonad Identity where
  extract (Id a) = a
  extend f ida = Id (f ida)

如果你的意思是数学，然后一个单子是三(X, return, bind) ，其中X是一个类型， return和bind跟着你所期望的类型和法律。类似地，comonad是(X, extend, extract) 。我刚刚证明了X S可能会发生相同，但是由于类型的extend和return或extract ，并bind不同的它不可能对它们进行相同的功能。所以数学单子永远是comonad。