什么会导致一个算法有O（日志log n）的复杂性？(What would cause an algo

这个问题早解决了一些可能导致算法有O（log n）的复杂的因素。

什么会导致一个算法有时间复杂度为O（log日志N）？

Answer 1:

为O（log log n）的条款可以在各种不同的地方出现，但通常有将在此运行时到达两个主要途径。

通过平方根收缩

正如答案的链接的问题提到的，对于算法的常用方法有时间复杂度为O（log n）是该算法通过反复的工作，即每次迭代的一些常数因子削减输入的大小了。如果是这种情况，算法必须O（log n）的迭代后终止，因为这样做Ø后用一常数（log n）的部门，该算法必须缩小问题的规模下降到0或1。这是为什么，例如，二进制搜索具有复杂度为O（log n）的。

有趣的是，缩向下其产生的型O的运行时的问题的大小的类似的方式（对数log n）的。而是将输入的一半在每一层的，如果我们采取大小的平方根在每个层会发生什么？

例如，让我们数65,536。多少次，我们有2个，直到我们得到下降到1分呢？如果我们这样做，我们得到

65536/2 = 32768
32768/2 = 16384
16384/2 = 8192
8192/2 = 4096
4096/2 = 2048
2048/2 = 1024
1024/2 = 512
2分之512= 256
2分之256= 128
2分之128= 64
2分之64= 32
32/2 = 16
16/2 = 8
8/2 = 4
4/2 = 2
2分之2= 1

此过程需要16个步骤，并且它也可以说65536 = 2 ^16。

但是，如果我们采取的平方根在每个层面上，我们得到

√65,536= 256
√256= 16
√16= 4
√4= 2

请注意，只需要四个步骤来获得一路下跌到2这是为什么？好吧，让我们重写的两个大国而言，这顺序：

√65,536√2= ¹⁶ ^=（16 ^2）1/2 = 2 ⁸ = 256
√256=√2= ^{^8（8} ^2）1/2 = 2 ⁴ = 16个
^{4√16=√2=（2} ^4）2 = ^2.1 ² = 4
√4=√2= ^2（2 ^{^2）1/2} = 2 ¹ = 2

请注意，我们遵循序列2 ^{^16→2→8} 2 ^4→2 ^{^2→1。} 在每次迭代中，我们削减的两个半功率的指数。这很有趣，因为这回连到我们已经知道 - 它下降到零之前，你只能除以2澳数k（日志K）倍。

因此，采取任何数量n，并将其写入为n = 2 ^k。每次取n的平方根的时候，你减半，公式中的指数。因此，只能有为O（log K）施加平方根ķ下降到1或更低（在这种情况下，n降低到2或更低）之前。由于n = 2 ^K，这意味着K = ₂登录n，以及因此采取平方根的数目为O（log K）= O（日志log n）的。因此，如果有算法，通过反复地减少问题大小的子问题，它是原始问题的大小的平方根的作品，该算法将邻终止后（日志log n）的步骤。

一个真实世界的这个例子是面包车昂德博阿斯树（VEB树）的数据结构。甲VEB树为在范围0存储整数的专用数据结构... N - 1。它的工作原理如下：在树的根节点具有√N指针在它，分裂范围0 ... N - 1到√N铲斗各保持一个范围大致√N整数。这些铲斗然后将每个内部细分为√（√N）桶，其中的每一个大致√保持（√N）的元件。遍历树，你从根开始，确定哪个桶属于你，然后递归继续在适当的子树。由于方式VEB树的结构，你可以在O确定（1）的时间下降到其子树，和O后因此（log日志N）的步骤，你将到达树的底部。因此，在一个VEB树查找需要时间仅O（日志中记录N）。

又如Hopcroft-财富接近的一对点的算法。该算法试图2D点集合中找到最接近的两个点。它的工作原理是建立桶的网格和点分配到这些分组。如果在算法中的桶被发现，有超过√N点的某一点，该算法递归处理该桶。因此，递归的最大深度是为O（log log n）的，并且使用它可以表明树中的每个层确实为O（n）工作递归树的分析。因此，该算法的总运行时间为O（n日志log n）的。

小输入O（log n）的算法

有迹象表明，通过使用算法，如大小的O对象（log n）的二进制搜索实现为O（log log n）的运行时的一些其他算法。例如， X-快速特里数据结构执行在高度为O（log U）的树以上的层的二进制搜索，所以对于一些它的操作的运行时都为O（log日志U）。有关Y型快速特里得到了一些它的O（log日志U）运行时通过保持为O（log U）每个节点，允许那些树搜索到时间为O运行的平衡BSTS（日志记录U）。在探戈树和相关multisplay树的数据结构，结束了一个O（日志log n）的任期在他们的分析，因为他们认为，含有O（log n）的项目每个树。

其他的例子

其他算法实现运行时间为O（log log n）的其他方式。插值搜索已经预计运行时间为O（log log n）的找到一个排序的数组的数字，但分析是相当复杂的。最终，分析的工作原理是示出了迭代次数等于数k使得n ^{2 ^-k} 2≤，对于哪些日志日志n是正确的解决方案。有些算法，如切瑞顿-的Tarjan MST算法，在涉及Ô运行时到达（日志log n）的求解复杂约束优化问题。

希望这可以帮助！

Answer 2:

看到的O因子（日志log n）的时间复杂性的一种方法是通过分裂状的东西在对方的回答解释，但有另一种方式来看到这个因素，当我们要的时间和空间之间的贸易/时间和逼近/时间和硬度/ ...的算法，我们对我们的算法，一些人为的迭代。

例如SSSP（单源最短路径）对平面图形的O（n）的算法，但复杂的算法之前有一个更容易的算法（但仍相当困难）与运行时间为O（n日志log n）的，在算法的基础是如下（只是非常粗略的描述，我会提供跳过理解这一部分，读答案的另一部分）：

分图分成O尺寸的部分（对数N /（日志log n）的），还有一些限制。
假设各部分提到的是在时间为O新图形G“然后计算SSSP为G”节点（| G‘| *记录| G’|）==>在这里，因为| G'| = O（| G | * loglogN个/ log n）的，我们可以看到（日志log n）的因子。
计算SSSP每个零件：再次，因为我们有O（| G'|）的一部分，我们可以计算SSSP所有零件的时间| N / LOGN | * |登录N /日志LOGN *日志（LOGN / log日志N）。
更新的权重，这部分可以在O（N）来完成。有关详细信息，该讲义是好的。

但我的观点是，这里我们选择分工中尺寸的O（日志N /（日志中记录N））。如果我们选择的其他部门一样为O（log N /（日志log n）的^ 2），这可能运行速度更快，带来的另一个结果。我的意思是，在很多情况下（如在近似算法或随机算法，或算法，如SSSP如上），当我们遍历东西（子问题，可能的解决方案，...），我们选择对应的是，贸易迭代次数我们（的算法的算法/常数因子时间/空间/复杂性，...）。所以，可能是我们看到比在现实工作算法“.log日志N”更复杂的东西。