我可以看到，在BST查找一个值，当我们离开树每次半，我们比较我们正在寻找的值的节点。
但是我不明白为什么时间复杂度为O(log(n)) 所以，我的问题是：
如果我们有N个元素的树，为什么找了树和检查，如果一个特定的值存在的时间复杂度为O（日志（N）），我们如何得到呢？
Answer 1:
你的问题似乎得到了很好回答这里 ，而是在总结有关您的具体问题，它可能是更好的反想起来; “会发生什么情况BST解决时间节点数量上升”？
从本质上讲，在BST每次加倍节点的数量，您只加一的步数来解决。 为了扩展这个，四倍的节点给出了两个额外的步骤。 八倍节点给出了三个额外的步骤。 十六倍的节点给出四个额外的步骤。 等等。
基部2日志中这些对所述第一数目的是在这些对所述第二数量。 这是基地2日志，因为这是一个二进制搜索（你一半问题空间中的每一步）。
Answer 2:
对我来说，最简单的方法是看的log 2（n）的图，其中n是二叉树结点的数量。 作为一个表，这看起来像：
log2(n) = d
log2(1) = 0
log2(2) = 1
log2(4) = 2
log2(8) = 3
log2(16)= 4
log2(32)= 5
log2(64)= 6
然后我画有点二叉树，这一个从深度d变为= 0至d = 3：
d=0 O
/ \
d=1 R B
/\ /\
d=2 R B R B
/\ /\ /\ /\
d=3 R B RB RB R B
从而节点当深度d从d变为数n，在树有效地加倍 （例如正由8随着从7至15的增加（这几乎是加倍）= 2〜d = 3，通过增加1。）因此，需要所需的处理的附加量（或时间）仅为1额外的计算（或迭代）增加时，因为处理的量与d。
我们可以看到，我们走下来只有1个深度d的附加级别，从d = 2 d = 3，找到我们想要的所有节点的n个节点，加倍节点的数量之后。 因为我们现在已经搜查了整棵树这是真实的，那么，我们需要搜索找到我们想要的节点它的一半。
我们可以写为d = log2(n)其中d告诉我们，大量的计算，我们需要（多少次迭代）做（平均）如何到达树中的任何节点，当有树n个节点。
Answer 3:
这可以在数学上表现得非常轻松。
我目前在此之前，让我澄清一些东西。 查找找到一个平衡二叉搜索树的复杂性或者是O（日志（N））。 对于一般的二叉搜索树，它是O（n）。 下面我将同时显示。
在一个平衡的二叉搜索树，在最坏的情况下，我正在寻找的值是树的叶子。 我基本上是从根遍历到叶，通过查看树只有一次 - 由于BSTS的有序结构的每一层。 因此，我需要做的搜索次数是树的层数。 因此，问题归结为寻找一个封闭形式的表达式，为具有n个节点的树的层的数量。
这是我们会做一个简单的归纳。 仅具有1层A树仅具有1个节点。 的2层A树具有1个+ 2节点。 3层1 + 2 + 4个节点等的图案是清楚的：具有k层A树具有完全相同
N = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + ... + 2 ^ {K-1}
节点。 这是一个几何级数，这意味着
N = 2 ^ k-1个，
等效：
K =的log（n + 1）
我们知道，大哦，有兴趣的n值很大，因此常数是无关紧要的。 因此，O（日志（n））的复杂性。
我给另一-much shorter-方式来显示同样的结果。 由于同时寻找一个值，我们不断地分裂树为两半，我们不得不这样做k次，其中k为层数，以下是正确的：
（N + 1）/ 2 ^ k = 1时，
这意味着完全相同的结果。 你必须说服自己关于其中n是+1 + 1是从哪里来的，但即使你不关注它，因为我们正在谈论的n值很大它是好的。
现在让我们来讨论通用二叉搜索树。 在最坏的情况下，这是完全不平衡的，这意味着所有的节点只有一个孩子（和它成为一个链表）查看例如https://www.cs.auckland.ac.nz/~jmor159/PLDS210/niemann/ s_fig33.gif
在这种情况下，要找到在叶的价值，我需要遍历所有节点上，因此为O（n）。
最后需要说明的是，这些复杂持有发现不仅如此，而且还插入和删除操作。
（当我达到10代表处点我将修改我的方程更好看的乳胶数学造型，所以不会让我现在。）
Answer 4:
每当你看到有一个O运行时（log n）的因素在里面， 有你要找的形式的东西非常好的机会，“保持一个常数除以某个对象的大小。” 所以，可能是考虑这个问题的最好办法就是 - 因为你在一个二叉搜索树做的查找，到底是什么那是越来越常数因子减少，并且是恒定的到底是什么？
首先，让我们想象一下，你有一个完美的平衡二叉树，一些看起来是这样的：
*
/ \
* *
/ \ / \
* * * *
/ \ / \ / \ / \
* * * * * * * *
在做搜索的每个点，你看看现在的节点。 如果这是你要找的，伟大的人！ 你完全完成。 在另一方面，如果它不是，那么你要么陷入左子树或右子树，然后重复这个过程。
如果你走进两个子树的一个，你基本上说：“我完全不关心什么是在其他的子树。” 你把自己所有的节点在它拿走。 有多少节点都是在那里呢？ 好了，有了一个快速的目视检查 - 最好是一个跟进一些不错的数学 - 你会看到，你折腾了大约一半的树中的节点。
这意味着，在查找的每一步，你要么（1）找到你要找的，或（2）折腾了树一半节点的节点。 既然你在每一步做的工作一定量，你看在澳的标志行为（log n）的行为 - 的工作由一个常数因子在每一步下降，所以它只能做这么多对数倍。
现在当然，并不是所有的树木看起来是这样。 AVL树有，每次向下降落到一个子树时，你扔掉大约占总节点黄金比例部分的乐趣属性。 因此，这可以保证你用完节点之前，你只能用对数很多步骤 - 因此，O（log n）的高度。 在红/黑树，每一步都扔掉（大概）一个总节点的四分之一，因为你常数因子萎缩，你又得到了O（log n）的查找时间你想。 非常有趣的替罪羊树有用来决定是多么紧密地平衡可调谐参数，但你可以再次证明，每次你走一步扔掉基于此可调参数的一些常数因子，使O（log n）的查找。
然而，这种分析分解为不平衡树。 如果你有一个纯粹的堕落树 - 一个，每一个节点都只有一个孩子 - 然后每一步下来，你只需要扔走一个节点，而不是一个固定比例的树。 这意味着，查找时间起床为O（n）在最坏的情况下，由于的次数，你可以减去从n个常数为O（n）。
文章来源: Why lookup in a Binary Search Tree is O(log(n))?
