什么是对应于哈斯克尔单子常见的伴随函子对？(What are the adjoint functor

在范畴论，一个单子可以从两个伴随函子来构建。具体地，如果C和d是类和F：C - > d和G：d - > C是伴随函子，在这个意义上，有一个双射

坎（FX，Y）=坎（X，GY）

一种在C和Y各自X在d则组合物G.华氏度：C - > C是单子。

一种这样的一对伴随函子可以通过固定式给出b和服用F和G是

data F b a = F (a,b)
data G b a = G (b -> a)

instance Functor (F b) where
  fmap f (F (a,b)) = F (f a, b)

instance Functor (G b) where
  fmap f (G g) = G (f . g)

和HOM-集之间的双射由讨好给出（模构造函数）：

iso1 :: (F b a -> c) -> a -> G b c
iso1 f = \a -> G $ \b -> f (F (a,b))

iso2 :: (a -> G b c) -> F b a -> c
iso2 g = \(F (a,b)) -> let (G g') = g a in g' b

在这种情况下相应的单子是

data M b a = M { unM :: b -> (a,b) }

instance Monad (M b) where
    return a    = M (\b -> (a,b))
    (M f) >>= g = M (\r -> let (a,r') = f r in unM (g r') a)

我不知道这个单子的名称应该是什么，但它似乎像一个读者单子，围绕一块过写信息（编辑载：dbaupp在评论中指出，这是State单子。）

因此， State单子可以“分解”为一对伴随函子F和G ，我们可以写

State = G . F

到现在为止还挺好。

现在，我试图找出如何分解等常见单子到伴随函子的对-例如Maybe ， [] Reader ， Writer ， Cont -但我想不出什么对伴随函子的，我们可以“分解”他们进入ARE。

唯一的简单情况似乎是Identity单子，它可以被分解成任何对函子F和G使得F是逆G （在尤其，可以只取F = Identity和G = Identity ）。

任何人都可以提供一些线索？

Answer 1:

什么你要找的是Kleisli类别。它最初被开发，以显示每一个单子可以从两个伴随函子来构建。

问题是，哈斯克尔Functor不是一个通用的仿函数，它是一个内切算符，Haskell的类别。因此，我们需要不同的东西（据我所知）代表其他类别之间的函子：

{-# LANGUAGE FunctionalDependencies, KindSignatures #-}
import Control.Arrow
import Control.Category hiding ((.))
import qualified Control.Category as C
import Control.Monad

class (Category c, Category d) => CFunctor f c d | f -> c d where
    cfmap :: c a b -> d (f a) (f b)

请注意，如果我们采取->两个c和d我们得到Haskell的范畴，这是刚刚类型的内切函子fmap ：

cfmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)

现在我们有一个表示给定的两个类别之间的函子显式类型类c和d ，我们可以表达对一个给定的单子两个伴随函子。左边的一个对象映射a只是a和射映射f至(return .) f ：

-- m is phantom, hence the explicit kind is required
newtype LeftAdj (m :: * -> *) a = LeftAdj { unLeftAdj :: a }
instance Monad m => CFunctor (LeftAdj m) (->) (Kleisli m) where
    cfmap f = Kleisli $ liftM LeftAdj . return . f . unLeftAdj
    -- we could also express it as liftM LeftAdj . (return .) f . unLeftAdj

正确的映射的对象a到对象ma和映射一个态射g到join . liftM g join . liftM g ，或等效于(=<<) g ：

newtype RightAdj m a = RightAdj { unRightAdj :: m a }
instance Monad m => CFunctor (RightAdj m) (Kleisli m) (->) where
    cfmap (Kleisli g) = RightAdj . join . liftM g . unRightAdj
    -- this can be shortened as RightAdj . (=<<) g . unRightAdj

（如果有人知道一个更好的方式如何在Haskell来表达这一点，请让我知道。）

Answer 2:

Maybe来自于自由进入函子尖头套类别和健忘函子回
[]来自自由算符成类群的类别和健忘函子背面

但无论这些类别都是Hask的子类别。

Answer 3:

当你观察，每对伴随函子的产生了一个单子。反过来也成立：每个单子以这种方式出现。事实上，这样做有两种典型方式。一个是Kleisli建设切赫介绍; 另一种是Eilenberg摩尔定律建设。事实上，Kleisli是初始这样的方式和EM的终端之一，在对伴随函子的合适的类别。他们在1965年各自独立发现如果你想的细节，我强烈推荐Catsters视频。

文章来源: What are the adjoint functor pairs corresponding to common monads in Haskell?