实现在C / C的衍生物++(Implementing the derivative in C/C+

如何被一个的衍生物f(x)通常计算编程，以确保最大的精确度？

我执行牛顿-拉夫逊方法，它需要一个函数的导数的服用。

Answer 1:

我同意@erikkallen该(f(x + h) - f(x - h)) / 2 * h为数值近似衍生物通常的做法。然而，获得正确的步长h是有点微妙。

在近似误差（ f(x + h) - f(x - h)) / 2 * h下降为h变小，它说你应该采取h尽可能小。但随着h变小，从浮点减法的误差增加，因为分子需要减去几乎相等。如果h过小，则可以在减法宽松很多的精度。因此，在实践中你必须选择一个不太小的值h是逼近误差和数值误差的最小化相结合。

作为一个经验法则，你可以尝试h = SQRT(DBL_EPSILON)其中DBL_EPSILON是最小的双精度数e ，使得1 + e != 1的加工精度。 DBL_EPSILON大约是10^-15 ，所以你可以使用h = 10^-7或10^-8 。

有关详细信息，请参阅这些笔记上采摘的步长微分方程。

Answer 2:

Newton_Raphson假定可以有两个函数f（x）和其导函数f'（x）的。如果你没有可以作为一个函数导数和必须从原来的函数估计导数，那么你应该用另一根查找算法。

维基百科求根给出了一些建议，将任何数值分析文本。

Answer 3:

1）第一种情况：

- 相对舍入误差，大约2 ^ { - 16}双和2 ^ { - 7}浮法。

我们可以计算出总误差：

假设你正在使用双浮点运算。因此h的最佳值是2sqrt（DBL_EPSILON / F ''（X））。 你不知道F ''（x）的 。但是你要估计这个值。例如，如果F ''（x）是约1则h的最佳值是2 ^ { - 7}但是，如果F ''（x）是大约10 ^ 6然后h的最佳值是2 ^ { - 10}！

2）第二种情况：

需要注意的是第二逼近误差趋于0比第一次更快。但是，如果F“”'（x）是非常lagre然后第一个选项是更优选的：

请注意，在第一种情况下，h是比例至E，但在第二种情况下，h是比例至E ^ {1/3}。对于双浮动操作Ck ^ {1/3}为2 ^ { - 5}或2 ^ { - 6}。（我想，F '''（x）是约1）。

哪种方式更好？ 它是未知的，如果你不知道F“”（x）和F“”'（x）或您无法估计这些值。据认为，第二个选项是优选的。但是，如果你知道F“”'（x）是非常大的使用第一个。

什么是h的最佳值？ 假设F“”（x）和F“”'（x）的约1。还假定我们使用双浮点运算。然后，在第一种情况下，h是大约2 ^ { - 8}，在第一种情况下，h是大约2 ^ { - 5}。如果你知道F '更正此值'（X）或f '''（x）的。

Answer 4:

fprime(x) = (f(x+dx) - f(x-dx)) / (2*dx)

对于一些小DX。

Answer 5:

你知道F（X）是什么？如果你只是有f作为一个黑盒子，你唯一可以做的事情就是数值逼近衍生物。但精度通常并不好。

你可以做的更好，如果你可以触摸，计算F中的代码。尝试“自动差异化” 。有一些不错的图书馆为可用。随着一点点库魔法，你可以轻松地转换功能的东西，会自动计算出衍生物。对于一个简单的C ++示例，请参见在此源代码德语讨论。

Answer 6:

你一定要考虑到约翰库克的建议采摘小时，但你通常不希望使用中心差分来近似导数。最主要的原因是，它的成本额外的功能评价，如果你使用一个前锋差，即

f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h

然后，因为你需要计算它已经为牛顿法，你会得到F（X）的自由的价值。这不是什么大不了的，当你有一个标量方程，但如果x是一个向量，则f'（x）是一个矩阵（雅可比），你会需要做额外ň函数求近似它使用中心差分的方法。

Answer 7:

除了约翰·库克回答上面不仅要考虑到浮点精度，而且函数f（x）的稳健性是很重要的。例如，在金融，它是F（X）实际上是一种蒙特卡罗仿真和f（x）的具有一定的噪声的值的常见的情况。使用一个非常小的步长可在这些情况下，严重地降低衍生物的精度。

Answer 8:

通常，信号噪声影响的衍生品质更是其他任何东西。如果你在你的F（X）的噪音，Savtizky - 格雷是一个常常被用来计算好衍生物优秀的平滑算法。简而言之，SG适合本地的多项式您的数据，当时该多项式可用于计算的衍生物。

保罗

文章来源: Implementing the derivative in C/C++