如何计算二项式系数模142857大型n和r 有什么特别之处142857？ 如果问题是模p ，其中p为素数，那么我们就可以用卢卡斯定理，但我应该为142857来完成。
Answer 1:
该算法是：
- factorise基地为主要力量; 142857 = 3 ^ 3×11×13×37
- 计算的结果每一个模素数幂
- 结合使用中国剩余定理的结果。
为了计算(n above k) mod p^q ：
来源： http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/BinCoeff.pdf ，定理1
定义(n!)_p为数字产品1..n不可由divible p
限定n_j如n擦除后j在基座至少显著位数p
定义r为n - k
限定e_j加入时作为携带的数量k+r ，而不是从计数携带j最低的位数，计算在碱p
定义s作为1如果p=2 & q>=3和-1否则
然后(n above k) mod p^q := p^e_0 * s^e_(q-1) * concatenate(j=d..0)( (n_j!)_p / ((k_j!)_p*(r_j!)_p) )其结果的级联计算一个基-对位的每个术语，最低j计算所述至少显著非零数字。
Answer 2:
实际上，你可以计算C(n,k) % m在O(n)时间任意m 。
诀窍是计算n! ， k! 和(nk)! 如黄金功率矢量，从第一减去两个以后，和乘法剩余模m 。 对于C(10, 4)我们这样做：
10! = 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7^1
4! = 2^3 * 3^1
6! = 2^4 * 3^2 * 5^1
于是
C(10,4) = 2^1 * 3^1 * 5^1 * 7^1
我们可以计算出这一点很容易mod m ，因为没有分歧。 关键是要计算的分解n! 和朋友线性时间。 如果我们预先计算的素数高达n ，我们可以有效地做到这一点，如下所示：在产品中明确说明每个偶数1*2*...*9*10 ，我们得到的系数2 。 对于每一个第四号我们上等等第二。 因此，数量2因素n! 是n/2 + n/4 + n/8 + ... （其中/被地板）。 我们做同样的其余素数，因为有O(n/logn)素数小于n ，我们做O(logn)的各项工作，分解是线性的。
在实践中，如下所示我将代码时比较含蓄：
func Binom(n, k, mod int) int {
coef := 1
sieve := make([]bool, n+1)
for p := 2; p <= n; p++ {
if !sieve[p] {
// Sieve of Eratosthenes
for i := p*p; i <= n; i += p {
sieve[i] = true
}
// Calculate influence of p on coef
for pow := p; pow <= n; pow *= p {
cnt := n/pow - k/pow - (n-k)/pow
for j := 0; j < cnt; j++ {
coef *= p
coef %= mod
}
}
}
}
return coef
}
这包括埃拉托色尼的筛子，使运行的时间nloglogn而非n如果素数已预先计算或以更快的筛进行筛分。
Answer 3:
有什么特别142857是7 * 142857 = 999999 = 10 ^ 6 - 1，这是源于费马用= 10，P = 7小定理，产生了模块化等值10 ^ 7 = = 10（MOD 1/7 ）。 这意味着你可以工作模999999大部分并在最后7分降低到最终模量。 这样做的优点是，模块划分的形式是10 ^ k代表K = 1,2,3,6的代表性碱基非常有效的。 所有你在这种情况下做的就是添加数字集中到一起; 这是一个泛化去九法 。
这种优化唯一真正意义，如果你有硬件基础-10乘法。 这实在是说，它工作得很好，如果你有纸和铅笔做到这一点。 因为这个问题最近出现了一个在线竞赛，我想这也正是问题的起源。
文章来源: Binomial coefficient modulo 142857
